数学建模日常实例 数学建模找拐点
苏格拉底（公元前469年～公元前399年），古希腊时期的思想家、哲学家和教育家，出身贫寒，是一位个性鲜明、从古至今被人毁誉不一的著名历史人物。苏格拉底是柏拉图的老师，他一生未曾著述，其言论和思想多见于柏拉图和色诺芬的著作，如《苏格拉底言行回忆录》。苏格拉与柏拉图、亚里士多德并称&34;。
苏格拉底的妻子是个心胸狭窄、冥顽不化，喜欢唠叨不休，动辄破口大骂的女人，而且常使堂堂的哲学家苏格拉底困窘不堪。一次，别人问苏格拉底&34;时，他回答说：&34; 在西方，&34;是悍妇、坏老婆的代名词。有一天，柏拉图问苏格拉底：&34;苏格拉底说：&34;结果柏拉图空手而归：&34;苏格拉底告诉柏拉图：&34;。 又有一天，柏拉图又问老师苏格拉底：&34;苏格拉底这次让柏拉图去森林，按照上次的规则，要其选最大最漂亮的一棵树回来。这次，柏拉图果然有收获：&34;苏格拉底笑了：&34;。
两位哲学家用麦穗和树枝问题来形象地比喻了爱情和婚姻的不同：前者是错过了的美好，后者是人生旅途中权衡之后某个时候的抉择。1611年，伟大的天文物理学家约翰尼斯·开普勒的妻子去世，两年后科学家准备续弦，重新组建家庭。由于开普勒的上一段婚姻并不幸福，所以这次他对交往的女士详细考察，力求找到完美的对象。开普勒像面试一样挨个交往相亲对象，在见到第5名女性时，他眼前一亮，被对方的勤俭持家、善良忠诚所打动。他本想就此收手，但&34;的想法，最终驱使他继续去寻找更优秀的。
最后，开普勒一共交往了11名女士，但他并没有找到更好的，反而一直对第5名女士牵肠挂肚。在某天去演讲的途中，他突然下定决心，调头前往第5名女士的家里，厚着脸皮向这位被他拒绝过的女士求婚。幸运的是，对方答应了。就这样，开普勒跟这名叫做苏珊·罗伊特林格的女子结婚了，两人生育了6名子女，生活幸福，携手到老。可是，并不是每个人都能像开普勒这样幸运，回头时那个人刚好还在等你，更多是至尊宝式的遗憾：&34; 人生没有最优解，只有满意解。
人文学者及公众都为这段颇富哲理的名人小故事津津乐道，但数学家们却另辟蹊径，从完全不同的、概率及统计的角度来解读它。麦穗问题虽然很普通，但也连得上貌似高深的&34;。每棵麦穗的大小都可以看作是随机的，因此当柏拉图在麦田中走一圈时，碰到一个又一个排成序列的随机变量，这不就是一个随机过程吗？在麦田的前1/e部分不要做决定（其中e为自然对数的底数，约等于2.71），只是把它作为参考，看看这1/e部分中哪个最大，然后在后面的部分如果能遇到一个相似大小的，这就是我们理论上能寻求到的最大的麦穗。理论上，你可以获得一个最优解，但现实中我们很多人都会成为&34;。近日苏黎世大学的一项研究表明，人们在等待决策的过程中，标准会越来越低。他们招募了129名参与者来进行模拟购物实验，他们需要尽可能以最少的钱下单机票。起飞日期确定，但机票的价格存在波动（像极了我每天在做的事）。数据显示，人们决策时使用的是一个&34;：越接近起飞日期，你能够接受的心理价位就越高（它也意味着，人们所设定的标准越来越低了）。
研究人员表示，这一原则不仅适用于采购决策，也适用于选择去哪家公司、挑选伴侣等情况：&34;
英国伦敦大学学院的美女讲师汉娜·弗莱博士最近出了本《真爱中的数学》，用数学模型帮&34;们寻找真爱。 抛开书中那一串串同样令人目眩神迷的数学公式，不妨直接看看弗莱博士给出了哪些建议。首先是相亲的策略，带一位颜值低于你的朋友同行，相亲成功的几率会大大提高，这似乎是某种不太地道的&34;，但弗莱博士却通过复杂的计算，证实了它的科学性。 其次是最佳的结婚时间，计算发现，人们应该在计划婚期之前所有约会时间过完37%之后再结婚。也就是说，如果一个人打算在35岁结婚，而他从15岁开始约会，那么22.4岁之前所有的约会对象，都将不幸地成为他人幸福路上的垫脚石。 可别以为结了婚就万事大吉，好事儿的数学家们对婚姻能否持续另有一套数学模型。据说，这套模型曾用于预测国家之间的军备竞赛。利用数学的观点抽象之后的麦穗问题，等效于概率及博弈论中著名的秘书问题。它还有多种变换版本：未婚夫问题、止步策略、苏丹嫁妆问题，等等。
下面我们用&34;的故事来叙述它。并借助微积分的基本概念用于求解分析这一问题过程。且说几年前留学人员中有一位外号&34;的学生，精通数学，小有成就，唯有一老大难问题尚未解决：将近40岁还没有交上女朋友。于是，那年他奉母命回国相亲，据说半个月之内来了100名佳丽应召。后来，这位傻博士经过严格的数学论证，采用了一种他认为的&34;，终于百里挑一，赢得美人归。这里还需加上一段话，描述傻博士母亲设定的条件。母亲要求他在15天之内，要对这100位佳丽一个一个地面试，每位佳丽只能见一次面，面试一个佳丽之后立即给出&34;或&34;的答案。如果&34;，则以后再无机会面试该女子；如果答案是&34;，则意味着博士选中了这位女子，相亲过程便到此结束。看到这里，你也许已经能领会到这个&34;与&34;本质上是一致的了。那么，对于母亲这种&34;的要求，傻博士的&34;又是怎么样的呢？既然是&34;，那应该用得上微积分中的最优化、求极值的技巧吧。果然如此！我们首先看看，傻博士是如何建造这个问题的数学模型的。这看起来是个概率的问题。假设，按照傻博士对女孩的标准，他将100个女孩做了一个排行榜，从1到100编上号，&1&34;34;、&3&34;一锤定音&34;34;的概率最高。
设想一下，傻博士可以有好多种方法做这件事。比如说，他可以想得简单一点，预先随意认定一个数字r（比如将r固定为等于20），当他面试到第r个人的时候，就定下来算了。这时候，因为r是100中挑出来的任意一个，所以，这个人是&1&34;见好就收&34;不要&34;忽略&34;要&34;临时最佳者&34;34;是不同的。&34;指的是傻博士一个一个面试之后到达某个时刻所看到的最好的佳丽，是随着傻博士已经面试过的人数的增加而变化的。这里便有了一个问题：对100个人而言，到底前面应该&34;掉多少个人，才是最佳的呢？也就是说，对n个面试者，r应该等于多大，才能使得最终被选定的那个面试者，是&1&34;34;被忽略掉的可能性也非常大，面试了这么多的人，将傻博士累得半死，选出34;34;的概率P（r）。对于给定的r，忽略了前面的r－1个佳丽之后，从第r个到第n个佳丽都有被选中的可能性。因此，在图3-5-1下方的公式中，这个总概率P（r）被表示成所有的P（i）之和。这里的i从r到n逐一变化，而P（i）则是选中第i个佳丽的可能性（概率）乘以这个佳丽是&1&34;临时最佳者&34;相亲过程&34;34;的可能性是多少呢？实际上，按照等概率原理，每个佳丽是&1&34;34;的概率公式。从公式可知，选中&1&34;收敛&34;极限&34;收敛&34;极限&34;收敛&34;极限&34;征婚游戏&34;近朱者赤，近墨者黑"。
参考文献：张天荣，《从掷骰子到阿尔法狗：趣谈概率》
